在半徑為1的圓O內(nèi)，過其一條直徑上的任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率．

答案：
解析：

　　解：設(shè)事件Ω＝“弦長超過圓內(nèi)接正三角形的邊長”．如下圖，因?yàn)辄c(diǎn)隨機(jī)地落在直徑上，所以不妨設(shè)過正△ABC的頂點(diǎn)B的直徑BG為所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域．在直徑BG上任取一點(diǎn)作垂直于BG的弦，當(dāng)弦為CA時(shí)，其弦長即為正△ABC的邊長，且CA與BG交于點(diǎn)F．當(dāng)弦長大于弦CA的長，則圓心O到弦的距離小于|OF|，由正三角形的性質(zhì)，可知|OF|＝．

　　所以P(Ω)＝＝，故弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率為．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點(diǎn)A為半徑是1的圓O上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)B．
（1）求弦AB的長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率；
（2）求弦AB的長超過圓半徑的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于平面內(nèi)的命題：“△ABC內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為R，且O點(diǎn)在△ABC內(nèi)，連接AO，BO，CO并延長分別交對(duì)邊于A1，B1，C1，則AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
證明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，球心O在該四面體內(nèi)，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對(duì)面交于A1，B1，C1，D1，則
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　北師大課標(biāo)高一版(必修3)　2009－2010學(xué)年　第36期　總192期 北師大課標(biāo)版 題型：044

向半徑為1的圓O內(nèi)投擲一點(diǎn)，求此點(diǎn)落在圓內(nèi)接正三角形的概率．

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在半徑為1的圓O上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，并連成一條弦，求其弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率．

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