Question

15．在△ABC中，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}$（tanA+tanB）=tanAtanB-1，求△ABC的三內(nèi)角的值．

Answer 1

分析 把已知的兩等式變形后，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，分別根據(jù)A和C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A和C的度數(shù)．

解答 解：∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且A+B+C=180°，
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$，即tan（B+C）=-tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴∠A=120°，
∵$\sqrt{3}$（tanA+tanB）=tanAtanB-1，
∴$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即tan（B+A）=-tanC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜C＜π，∴∠C=30°，
∴∠B=180°-120°-30°=30°，
即∠B=∠C=30°，∠A=120°．

點評 此題考查了三角形的解法，要到的知識有兩角和與差的正切函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，以及等腰三角形的判別方法，其中靈活運用公式把已知的兩等式進行三角函數(shù)的恒等變形，得到A和C的度數(shù)，進而得到B的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．