Question

20．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），則S₂₀₁₄=（　�。�

• A． 2015+$\frac{\sqrt{2015}}{2015}$
• B． 2015-$\frac{\sqrt{2015}}{2015}$
• C． 2015
• D． $\sqrt{2014}$

Answer 1

分析 4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），化為$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，根據(jù)數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，可得2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，當(dāng)n=1時(shí)，解得a₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，可得a₂=$\sqrt{2}$-1；同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．驗(yàn)證即可得出．

解答 解：∵4S²_n-2=a²_n+$\frac{1}{{{a}^{2}}_{n}}$（n∈N^*），
∴$（2{S}_{n}）^{2}$=$（{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}）^{2}$，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$，解得a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，2（a₁+a₂）=${a}_{2}+\frac{1}{{a}_{2}}$，解得a₂=$\sqrt{2}$-1；
同理可得：a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，…，
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．
可得S_n=$\sqrt{n}$，代入2S_n=${a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}$驗(yàn)證成立，
∴a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，S_n=$\sqrt{n}$．
∴S₂₀₁₄=$\sqrt{2014}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納驗(yàn)證推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．