Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若PA=a，求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC交BD于M，連結(jié)ME，由已知得ME∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（2）由已知得BD⊥AC，PA⊥BD，從而B(niǎo)D⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面BDE．
（3）由V_C-BDE=V_E-BCD，利用等積法能求出三棱錐C-BDE的體積．

解答： （1）證明：設(shè)AC交BD于M，連結(jié)ME．因?yàn)锳BCD為正方形，
所以M為AC中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以ME為△PAC的中位線，
所以ME∥PC，…（3分）
又因?yàn)镸E?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE．…（5分）
（2）證明：因?yàn)锳BCD為正方形，所以BD⊥AC，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．…（8分）
因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．…（10分）
（3）解：V_C-BDE=V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×EA
=

1

3

×

a

2

×

1

2

a2
=

a3

12

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．