Question

已知M（3，m）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，|MF|=5．
（1）求m的值和拋物線c的方程；
（2）求拋物線C上的點(diǎn)P到直線l：x-y+5=0的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì),點(diǎn)到直線的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得：拋物線焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，因?yàn)辄c(diǎn)M（3，m）到其焦點(diǎn)的距離為5，所以點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：3+

p

2

=5，從而得到p=4，得到該拋物線的方程，進(jìn)而得到m的值．
（2）設(shè)P（x，y），求出P到直線x-y+5=0距離，利用配方法求最值．

解答： 解：（1）∵拋物線方程為y²=2px
∴拋物線焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
∵點(diǎn)M（3，m）到其焦點(diǎn)的距離為5，
∴p＞0，根據(jù)拋物線的定義，得3+

p

2

=5，
∴p=4，所以拋物線方程為y²=8x
當(dāng)x=3時(shí)，m=±2

6

．
（2）設(shè)P（x，y），則P到直線x-y+5=0距離為d=

|x-y+5|

2

=

| 1 8 y2-y+5|

2

=

| 1 8 (y-4)2+3|

2

，
∴y=4時(shí)，P到直線x-y+5=0距離的最小值為

3

2

=

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的拋物線，在已知其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的情況下，求準(zhǔn)線方程．著重考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．