10.設(shè)n∈N,求證:
(1)$\sqrt{n+1}$-1<$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{n}}$<$\sqrt{n}$;
(2)$\frac{1}{2n+1}$<$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.

分析 (1)直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟,證明不等式即可.
(2)利用$\frac{2n-1}{2n+1}$<$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{2n}{2n+1}$,即可證明不等式

解答 證明:(1)①n=1時(shí),結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即$\sqrt{k+1}$-1<$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$<$\sqrt{k}$,
n=k+1時(shí),$\sqrt{k+1}$-1+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$<$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$<$\sqrt{k}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$,
∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$<$\sqrt{k}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$<$\frac{2\sqrt{k(k+1)}+1}{2\sqrt{k+1}}$<$\frac{k+k+1+1}{2\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$,
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{2\sqrt{k}}$+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$>$\sqrt{k+1}$-1+$\frac{1}{2\sqrt{k+1}}$=$\frac{2k+2+1}{2\sqrt{k+1}}$-1>$\sqrt{k+2}$-1,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由①②可知,不等式成立;
(2)∵4n2-1<4n2,即(2n+1)(2n-1)<(2n)2.即$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{2n}{2n+1}$,
∴($\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$)2<$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$,
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$(n∈N*).
$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$>$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×…×$\frac{2n-1}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$,
∴$\frac{1}{2n+1}$<$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明含自然數(shù)n的表達(dá)式的證明方法,注意n=k+1的證明時(shí),必須用上假設(shè).利用放縮法證明的關(guān)鍵是放大與縮小,不能隨便放縮.

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