已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標(biāo)原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

 

【答案】

（1）+=1 （2），證明見解析

【解析】

解:(1)拋物線y2=8x的焦點為(2,0),

又橢圓以拋物線焦點為頂點,

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴橢圓E的方程為+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l與橢圓交于兩點,

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1、x2是上述方程的兩個根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由點P在橢圓上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·為定值.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時．求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足
AC
=2
CB
．
（Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
8
+
y2
4
=1焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=4，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，求k1•k2的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E:+=1(a＞b＞0),其左、右焦點為F1(-c,0)、F2(c,0)(c＞0).

(1)若F2(2,0)關(guān)于直線y=x+的對稱點在橢圓E上,求該橢圓E的方程;

(2)若橢圓E的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過它的兩個焦點(如圖),求這個平行四邊形面積的最大值.

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