已知橢圓E:+=1(a＞b＞0),其左、右焦點為F1(-c,0)、F2(c,0)(c＞0).

(1)若F2(2,0)關于直線y=x+的對稱點在橢圓E上,求該橢圓E的方程;

(2)若橢圓E的內接平行四邊形的一組對邊分別經過它的兩個焦點(如圖),求這個平行四邊形面積的最大值.

解：(1)設F2(2,0)關于y=x+對稱的點為(x0,y0),則

解得x0=-2,y0=.

所以將x0=-2,y0=

代入橢圓方程得+=1且a2-b2=4.

解得a2=9或a2=(舍去).所以橢圓的方程為=1.

(2)設AB:x=my+c,CD:x=my-c.

消去x,得(b2m2+a2)y2+2b2mcy-b4=0.

y1+y2=-,y1y2=-,

|AB|=2ab2,d=,

=4ab2c.

當≥1時, ≤4ab2c·=2ab;

當0＜＜1時, ≤4ab2c=.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時．求內切圓圓心的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足
AC
=2
CB
．
（Ⅰ）用直線l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面積；
（Ⅱ）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
8
+
y2
4
=1焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=4，設P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（1）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，求k1•k2的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年人教版高考數(shù)學文科二輪專題復習提分訓練24練習卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

 

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