【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.
(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
【答案】
(1)證明:由題意,以B為坐標(biāo)原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, , ),F(xiàn)( , ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.
(2)解:在圖中,設(shè)平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( , ,0), =(0, , ),
由 得其中一個 =(1,﹣ ,1),
設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,由題意知θ為銳角,則
cosθ=|cos< , >|=| |= ,
因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值為 .
【解析】(1)以B為坐標(biāo)原點,在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,得到E、F、B、C點的坐標(biāo),易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)設(shè)平面BFC的一個法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依題意,可求得一個 =(1,﹣ ,1),設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,可求得sinθ的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,A∈C,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點;
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為 ,求p的值及圓F的方程;
(2)若A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標(biāo)原點到m,n距離的比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國魏人劉徽,自撰《海島算經(jīng)》,專論測高望遠.其中有一題:今有望海島,立兩表齊,高三丈,前後相去千步,令後表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從後表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問島高及去表各幾何?翻譯如下:要測量海島上一座山峰的高度,立兩根高三丈的標(biāo)桿和,前后兩竿相距步,使后標(biāo)桿桿腳與前標(biāo)桿桿腳與山峰腳在同一直線上,從前標(biāo)桿桿腳退行步到,人眼著地觀測到島峰,、、、三點共線,從后標(biāo)桿桿腳退行步到,人眼著地觀測到島峰,、、三點也共線,則山峰的高度__________步.(古制步尺,里丈尺步)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工藝品廠要設(shè)計一個如圖1所示的工藝品,現(xiàn)有某種型號的長方形材料如圖2所示,其周長為4m,這種材料沿其對角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況.如圖,ABCD(AB>AD)為長方形的材料,沿AC折疊后AB'交DC于點P,設(shè)△ADP的面積為S2 , 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 .
(Ⅰ)設(shè)AB=xm,用x表示圖中DP的長度,并寫出x的取值范圍;
(Ⅱ)求面積S2最大時,應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬?
(Ⅲ)求面積(S1+2S2)最大時,應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形.
(1)證明:PB⊥CD;
(2)求二面角A﹣PD﹣C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個區(qū)間,若存在x0∈D,使f(x0)=﹣x0 , 則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間D上存在次不動點.若函數(shù)f(x)=ax2﹣3x﹣a+ 在區(qū)間[1,4]上存在次不動點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.[ ,+∞)
D.(﹣∞, ]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2xcos2x+sin22x﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對稱中心;
(2)在△ABC中,角B為鈍角,角A,B,C的對邊分別為a、b、c,f( )= ,且sinC= sinA,S△ABC=4,求c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+ |﹣|x﹣ |;
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)根據(jù)(1)所得圖象,填寫下面的表格:
性質(zhì) | 定義域 | 值域 | 單調(diào)性 | 奇偶性 | 零點 |
f(x) |
(3)關(guān)于x的方程f2(x)+m|f(x)|+n=0(m,n∈R)恰有6個不同的實數(shù)解,求n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=n2+n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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