Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+ |﹣|x﹣ |；
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)（1）所得圖象，填寫下面的表格：

性質	定義域	值域	單調(diào)性	奇偶性	零點
f（x）

（3）關于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數(shù)解，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=|x+ |﹣|x﹣ |= ，

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

（2）解：由函數(shù)的圖象得函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，

函數(shù)的值域為（0，2]，

在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上單調(diào)遞增，

在[1，+∞）和（﹣1，0），單調(diào)遞減，

函數(shù)關于y軸對稱，是偶函數(shù)，

函數(shù)與x軸沒有交點，無零點

（3）解：∵0＜f（x）≤2，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

∴令t=f（x），則方程等價為t2+mt+n=0，

則由圖象可知，當0＜t＜2時，方程t=f（x）有4個不同的根，

當t=2時，方程t=f（x）有2個不同的根，

當t≤0或t＞2時，方程t=f（x）有0個不同的根，

若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數(shù)解，等價為方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數(shù)解，

即t2+mt+n=0有兩個不同的根，

其中t1=2，0＜t2＜2，

則n=t1t2∈（0，4）．

【解析】（1）利用分段函數(shù)求出f（x）的表達式，然后作出函數(shù)f（x）的圖象，（2）結合函數(shù)的圖象判斷相應的性質，（3）根據(jù)圖象利用換元法將條件進行轉化，利用數(shù)形結合即可得到結論．