Question

18．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（4）若f（2）=1，解不等式f（x+2）-f（2x）＞2；
（5）比較f（$\frac{m+n}{2}$）與$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）令m=m=1，即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系即可證明f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（4）若f（2）=1，求出f（4）=2，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解不等式f（x+2）-f（2x）＞2；
（5）利用作差法即可比較f（$\frac{m+n}{2}$）與$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大�。�

解答 解：（1）∵f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），
∴令m=n=1，可得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
則f（1）=0．
（2）∵f（x）=f（$\frac{x}{y}$•y）=f（$\frac{x}{y}$）+f（y），
∴f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（3）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
（4）若f（2）=1，則f（2）+f（2）=f（4）=2，
則不等式f（x+2）-f（2x）＞2等價為f（x+2）-f（2x）＞f（4）；
即f（x+2）＞f（2x）+f（4）=f（8x）；
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{2x＞0}\\{x+2＞8x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-2}\\{x＞0}\\{x＜\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜$\frac{2}{7}$．
（5）∵2f（$\frac{m+n}{2}$）=f（（$\frac{m+n}{2}$）²）≥f（（$\sqrt{mn}$）²）=f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（$\frac{m+n}{2}$）≥$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用抽象函數(shù)的關(guān)系以及賦值法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．