Question

1．函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（1-x），f（x）=f（6-x），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}（x-1）$．
（1）在網(wǎng)格中畫出函數(shù)f（x）在[-5，11]上的圖象；
（2）若直線y=k（x+3）與函數(shù)f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱、關(guān)于x=3對稱、周期為8，即可在網(wǎng)格中畫出函數(shù)f（x）在[-5，11]上的圖象；
（2）若直線y=k（x+3）與函數(shù)f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，分類討論，建立不等式組，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（1+x）=-f（1-x），∴f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對稱．
又f（x）=f（6-x），∴f（x）的圖象關(guān)于x=3對稱．
∴f（x）=f（6-x）=f（1+（5-x））=-f（1-（5-x））=-f（x-4），
∴f（x）=f（x-8），∴函數(shù)f（x）的周期為8，故函數(shù)f（x）在[-5，11]上的大致圖象如下：

（2）∵f（x）與直線y=k（x+3）的圖象均關(guān)于（-3，0）中心對稱，
則當(dāng)k＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}k（3+3）＜1\\ k（11+3）＞1\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{14}＜k＜\frac{1}{6}$．
當(dāng)k＜0時(shí)，k（7+3）=-1，解得$k=-\frac{1}{10}$．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（\frac{1}{14}，\frac{1}{6}）∪\{-\frac{1}{10}\}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．屬于中檔題．