Question

14．如圖，⊙O和⊙O′相交于A、B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點，連接DB并延長交⊙O于點E．
（1）證明：AC•BD=AD•AB；
（2）若AD=4，AC=2AB，求DE．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理得出∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，從而△ACB∽△DAB，即可證明結(jié)論；
（2）證明△EAD∽△ABD，可得AE•BD=AD•AB結(jié)合（1）的結(jié)論，AC=AE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由AC與圓O′相切于點A，得∠CAB=∠ADB，
同理，∠ACB=∠DAB，
從而△ACB∽△DAB，
所以$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
所以AC•BD=AD•AB．
（2）解：由AD與⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，從而$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，
即AE•BD=AD•AB
結(jié)合（1）的結(jié)論，AC=AE．
又AD=4，AC=2AB，所以DE=$\frac{1}{2}AD$=2．

點評 本題考查弦切角定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．