Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x+sinx，則不等式$\frac{f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）}{2}$＜f（1）的解集是（0，e）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù) 奇偶性和單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sinx+x，
∴f（-x）=-sinx-x=-f（x），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=cosx+1≥0，
則函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
不等式$\frac{f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）}{2}$＜f（1），
即2f（lnx）＜2f（1），
故lnx＜1，
解得：0＜x＜e，
故不等式的解集是（0，e），
故答案為：（0，e）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．