Question

18．二面角α-l-β的平面角為50°，點(diǎn)P為空間內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與平面α，β都成25°角，這樣的直線m有3條．

Answer 1

分析 利用線面角的概念及角平分線的性質(zhì)，分析出所求直線二面角的平分面上，再根據(jù)線面角的大小變化確定出直線條數(shù)．

解答 解：首先給出下面兩個(gè)結(jié)論
①兩條平行線與同一個(gè)平面所成的角相等．
②與二面角的兩個(gè)面成等角的直線在二面角的平分面上．
圖1．
（1）如圖1，過(guò)二面角α-l-β內(nèi)任一點(diǎn)作棱l的垂面AOB，交棱于點(diǎn)O，
與兩半平面于OA，OB，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角，∠AOB=50°
設(shè)OP₁為∠AOB的平分線，則∠P₁OA=∠P₁OB=25°，與平面α，β所成的角都是25°，
此時(shí)過(guò)P且與OP₁平行的直線符合要求，有一條．當(dāng)OP₁以O(shè)為軸心，
在二面角α-l-β的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OP₁與兩平面夾角變小，不再會(huì)出現(xiàn)25°情形．  
圖2．
（2）如圖2，設(shè)OP₂為∠AOB的補(bǔ)角∠AOB′，則∠P₂OA=∠P₂OB=65°，
與平面α，β所成的角都是65°．當(dāng)OP₂以O(shè)為軸心，
在二面角α-l-β′的平分面上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OP₂與兩平面夾角變小，
對(duì)稱地在圖中OP₂兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)25°情形，有兩條．
此時(shí)過(guò)P且與OP₂平行的直線符合要求，有兩條．
綜上所述，直線的條數(shù)共有3條．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的直線的條數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．