Question

在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)（左圖），將∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右圖），則二面角A-BD-C的余弦值為（　�。�

• A、-

  1

  3

• B、

  1

  3

• C、-

  3

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：由（1）的證明可得∠A′EF為二面角A-BD-C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長線于M，從而當(dāng)AB⊥CD時(shí)，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=

1

3

，利用互補(bǔ)得出二面角A-BD-C的余弦值為-

1

3

．

解答： 解：過A作AE⊥BD，在原圖延長角BC與F，
過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長線于M，

∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點(diǎn)，
AB=

1

2

AC，BD=

1

2

AC，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BD⊥AE，BD⊥EF，
∴∠AEF為二面角A-BD-C的平面角，
過A作AO⊥面BCD，垂足為O，
∵面AEF⊥面BCD，
∴O在EF上，
理解BO交CD延長線于M，
當(dāng)AB⊥CD時(shí)，由三垂線定理的逆定理可知：MB⊥CM，
∴O為翻折之前的三角形ABD的中心，
∴OE=

1

3

AE，
cos∠AEO=

1

3

，
∴cos∠AEF=-

1

3

，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題以平面圖形為載體，考查圖形的翻折，關(guān)鍵是搞清翻折前后有關(guān)元素的變與不變，考查面面角，考查線面角，關(guān)鍵是正確作出相應(yīng)的角