Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

an(an+2)

4

（n∈N^*）．
（1）求a₁的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a 3 1

+

1

a 3 2

+

1

a 3 3

+…+

1

a 3 n

＜

5

32

（n∈N^*）；
（3）是否存在非零整數(shù)λ，使不等式λ（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）…（1-

1

an

）cos

πan+1

2

＜

1

an+1

對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

a1(a1+2)

4

，求a₁的值，根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證法一、二：先放縮，再裂項(xiàng)求和，即可證得結(jié)論；
（3）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，證明其單調(diào)遞增，假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n對(duì)一切n∈N^*都成立，分類討論求最值，即可求出λ的值．

解答：（1）解：由Sn=

an(an+2)

4

．
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

a1(a1+2)

4

，解得a₁=2或a₁=0（舍去）． …2分
當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn-Sn-1=

an(an+2)

4

-

an-1(an-1+2)

4

∴an2-an-12=2(an+an-1)，
∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，則a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故a_n=2n． …4分
（2）證法一：∵

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8n•n2

＜

1

8n(n2-1)

=

1

8(n-1)n(n+1)

=

1

16

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

](n≥2)，…4分
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a13

+

1

a23

+

1

a33

+…+

1

an3

=

1

23

+

1

43

+

1

63

+…+

1

(2n)3

＜

1

23

+

1

16

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]=

1

8

+

1

16

[

1

2

-

1

n(n+1)

]＜

1

8

+

1

16

×

1

2

=

5

32

．…7分
當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=

1

a13

=

1

8

＜

5

32

顯然成立．…8分
證法二：∵n³-4n（n-1）=n（n²-4n+4）=n（n-2）²≥0，∴n³≥4n（n-1）．
∴

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8n3

≤

1

32n(n-1)

=

1

32

(

1

n-1

-

1

n

)（n≥2）．…4分
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a13

+

1

a23

+

1

a33

+…+

1

an3

=

1

23

+

1

43

+

1

63

+…+

1

(2n)3

≤

1

23

+

1

32

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

8

+

1

32

(1-

1

n

)＜

1

8

+

1

32

=

5

32

．…7分
當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=

1

a13

=

1

8

＜

5

32

顯然成立．…8分
（3）解：由a_n=2n，得cos

πan+1

2

=cos(n+1)π=(-1)n+1，
設(shè)bn=

1

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )•…•(1- 1 an ) an+1

，則不等式等價(jià)于.

bn+1

bn

=

an+1

(1- 1 an+1 ) an+1+1

=

2n+1

(1- 1 2n+2 ) 2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，…9分
∵b_n＞0，∴b_n+1＞b_n，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增．…10分
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n對(duì)一切n∈N^*都成立，則
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得λ＜(bn)min=b1=

2 3

3

； …11分
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得-λ＜(bn)min=b2=

8 5

15

，即λ＞-

8 5

15

．…12分
綜上，λ∈(-

8 5

18

，

2 3

3

)，由λ是非零整數(shù)，知存在λ=±1滿足條件．…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確放縮，合理運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．