Question

2．如圖所示，DC⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．
（Ⅰ） 求證：AF∥平面CDE；
（Ⅱ） 求平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能證明AF∥平面CDE．
（Ⅱ）求出平面AEF的一個(gè)法向量和平面ABCD一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
則C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），A（2，0，4），F(xiàn)（2，2，0），
則$\overrightarrow{AF}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）．
$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0）為平面CDE的一個(gè)法向量．  …（3分）
又$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CB}$=0，AF?平面CDE，
∴AF∥平面CDE． …（5分）
解：（Ⅱ）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{AE}=（-2，4，-4），\overrightarrow{AF}=（0，2，-4）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2{x_1}+4{y_1}-4{z_1}=0\\ 2{y_1}-4{z_1}=0\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{n_1}=（2，2，1）$．  …（8分）
又∵CE⊥平面ABCD，∴平面ABCD一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{CE}=（0，4，0）$，
設(shè)平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的大小為α，
則$cosα=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_1}}|}}}|=\frac{2×4}{3×4}=\frac{2}{3}$
因此，平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．