Question

12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cosθ=0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l過(guò)點(diǎn)M（3，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于AB兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．由直線l過(guò)點(diǎn)M（3，0），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得參數(shù)方程．
（2）把直線l代入圓的直角坐標(biāo)方程x²+y²-4x=0，得${（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+\frac{1}{4}{t^2}-4（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）=0$，化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可求值得解．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）對(duì)于C：由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴x²+y²=4x，
∴對(duì)于l：有$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}（{t為參數(shù)}）}\right.$．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂
將直線l的參數(shù)方程帶入圓的直角坐標(biāo)方程x²+y²-4x=0，
得${（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+\frac{1}{4}{t^2}-4（{3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）=0$，
化簡(jiǎn)得${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，
$\begin{array}{l}∴{t_1}+{t_2}=-\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=-3\\∴|{MA}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{15}\end{array}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程、弦長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．