Question

已知函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）．
（1）若對(duì)任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（2^x）＞0恒成立?2^x+

m

2x

-1＞0（x≠0）恒成立?m＞2^x（1-2^x）（x≠0）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2^x（1-2^x）（x≠0），利用基本不等式（或配方法）可求得m的取值范圍；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=x+

m

x

-1=0得：m=x（1-x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

；同理可得，當(dāng)x＜0時(shí)，m=x（1+x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，在在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=m與函數(shù)y=|x|（x-1）的圖象，借助圖象即可求得函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）f（2^x）＞0恒成立?2^x+

m

2x

-1＞0（x≠0）恒成立?m＞2^x（1-2^x）（x≠0）恒成立，
令g（x）=2^x（1-2^x）（x≠0），
則m＞g（x）_max，
因?yàn)間（x）=2^x（1-2^x）≤（

2x+(1-2x)

2

）²=

1

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取“=”），
∴g（x）_max=

1

4

，
∴m＞

1

4

；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=x+

m

x

-1=0得：m=x（1-x）=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=-x+

m

x

-1=0得：m=x（1+x）=（x+

1

2

）²-

1

4

，
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=m與函數(shù)y=|x|（x-1）的圖象，

由圖象知，當(dāng)m＜-

1

4

或m＞

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m=±

1

4

或m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)-

1

4

＜m＜0或0＜m＜

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=|x|+

m

x

-1（x≠0）有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，作圖是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．