Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為

π

4

，問(wèn)：m在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間[t，3]上總存在極值？
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）對(duì)a分類(lèi)討論，由f′（x）＞0時(shí)，得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0時(shí)，得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡(jiǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在[t，3]上總存在極值得到 g′（t）＜0，g′（3）＞0 解出m的范圍記即可；
（Ⅲ）F（x由題意構(gòu)建新函數(shù)F（x））=f（x）-g（x），這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F（x）在[1，e]上至少有一解的判斷．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

a

x

-a=a（

1-x

x

）（x＞0），
∴（1）當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0時(shí)，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）遞增；
令f′（x）＜0時(shí)，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）遞減．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=-a（

x-1

x

），令f′（x）＞0時(shí)，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）遞增；
令f′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）遞減；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′（x）=-

2

x

+2，
g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]=x³+x²[

m

2

+2-

2

x

]=x³+（2+

m

2

）•x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因?yàn)閷?duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區(qū)間[t，3]上總存在極值，
所以只需 g′（2）＜0 g′（3）＞0，解得-

37

3

＜m＜-9；
（Ⅲ）∴令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx，
①當(dāng)p≤0時(shí)，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②當(dāng)p＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F(xiàn)′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
∴F（x）max=F（e）=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范圍是[

4e

e2-1

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：（Ⅰ）考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力，會(huì)根據(jù)直線的傾斜角求直線的斜率，（III）此處重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù)，并考查了函數(shù)F（x）在定義域下恒成立問(wèn)題數(shù)式中含字母系數(shù)，需分類(lèi)討論，屬于難題．