Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為C，過點(diǎn)(0，

3

)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出C的方程；
（2）設(shè)d為A、B兩點(diǎn)間的距離，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，有橢圓的定義知此動點(diǎn)的軌跡應(yīng)為橢圓，有橢圓的定義即可得動點(diǎn)的軌跡方程；
（2）有題意，求過焦點(diǎn)的直線與橢圓產(chǎn)生的交點(diǎn)構(gòu)成的過焦點(diǎn)的弦長，有焦半徑公式即可求得．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，
點(diǎn)P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點(diǎn)，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（2）①設(shè)過點(diǎn)（0，

3

）的直線方程為y=kx+

3

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3

消去y并整理得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0．
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

3

=-

2 3 k2

k2+4

+2

3

．
∴d=|AF|+|BF|=e（

a2

c

-y1）+e（

a2

c

-y2）
=2a-e（y₁+y₂）=4=4+

3k2

k2+4

-3
=4-

12

k2+4

．
∵k²≥0，∴k=0時(shí)，d取得最小值1．
②當(dāng)k不存在時(shí)，過點(diǎn)（0，

3

）的直線方程為x=0，
此時(shí)交點(diǎn)A、B分別為橢圓C的長軸的兩端點(diǎn)，
∴d取最大值4．
綜上，d的最大值、最小值存在，分別為4、1．

點(diǎn)評：（1）此問重點(diǎn)考查了利用定義法求動點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵要理解好橢圓定義的條件，并準(zhǔn)確加以判斷；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解過焦點(diǎn)的弦長問題，并且還考查了解析幾何中設(shè)而不求，整體代換的思想．