Question

min{s₁，s₂，┅，s_n}，max{s₁，s₂，┅，s_n}分別表示實(shí)數(shù)s₁，s₂，┅，s_n中的最小者和最大者．
（1）作出函數(shù)f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的圖象；
（2）在求函數(shù)f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的最小值時(shí)，有如下結(jié)論：f（x）_min=min{f（-3），f（1）=4．請(qǐng)說(shuō)明此結(jié)論成立的理由；
（3）仿照（2）中的結(jié)論，討論當(dāng)a₁，a₂，┅，a_n為實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+┅+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜┅＜x_n∈R）的最值．

Answer 1

分析：（1）利用絕對(duì)值的意義，對(duì)x分段討論取得絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分段畫出函數(shù)的圖象．
（2）結(jié)合圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性說(shuō)明函數(shù)的最值在何處取得．
（3）利用類比推理得到一般情況下最值在何處取得．

解答：解：（1）f（x）=|x+3|+2|x-1|=

-3x-1(x≤-3) -x+5(-3＜x＜1) 3x+1(x≥1)

其圖象如圖

（2）當(dāng)x∈（-∞，-3）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[-3，1）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）_min=min{f（-3），f（1）}=4．
（3）當(dāng)a₁+a₂+┅+a_n＜0時(shí)，f（x）_max=maxf（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
當(dāng)a₁+a₂+┅+a_n＞0時(shí)，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
當(dāng)a₁+a₂+┅+a_n=0時(shí)，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂）}，
f（x）_max=maxf（x₁），f（x_n）}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用絕對(duì)值的意義分段討論去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值、類比推理的推理方法．