Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-(a+2)x+2a

x-1

(a∈R)
（1）若a=4，求f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值；
（2）解不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）將a=4代入f（x），整理變形可得f（x）=（x-1）+

3

x-1

-4，由基本不等式的性質(zhì)，可得（x-1）+

3

x-1

-4≥2

3

-4，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，首先對f（x）變形可得，f（x）=

(x-2)(x-a)

x-1

，即解

(x-2)(x-a)

x-1

≤0即可，按a的取值范圍的不同分5種情況討論，可得答案．

解答：解：（1）若a=4，則f（x）=

x2-6x+8

x-1

=

[(x-1)+1]2-6(x-1)+2

x-1

=（x-1）+

3

x-1

-4，
當(dāng)x∈（1，+∞），即x-1＞0時，（x-1）+

3

x-1

-4≥2

3

-4，
則f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值為2

3

-4；
（2）f（x）=

x2-(a+2)x+2a

x-1

=

(x-2)(x-a)

x-1

，
f（x）≤0，即

(x-2)(x-a)

x-1

≤0，
進(jìn)而分類討論，
當(dāng)a＜1時，由穿線法可得，其解集為x≤a或1＜x≤2，
當(dāng)a=1時，f（x）=x-2，且x≠1，則其解集為x≤2且x≠1，
當(dāng)1＜a＜2時，由穿線法可得，其解集為x＜1或a≤x≤2，
當(dāng)a=2時，f（x）=

(x-2)2

x-1

，則其解集為x＜1，
當(dāng)a＞2時，由穿線法可得，其解集為x＜1或2≤x≤a；
故不等式f（x）≤0的解集情況為：
當(dāng)a＜1時，其解集為{x|x≤a或1＜x≤2}，
當(dāng)a=1時，其解集為{x|x≤2且x≠1}，
當(dāng)1＜a＜2時，其解集為{x|x＜1或a≤x≤2}，
當(dāng)a=2時，其解集為{x|x＜1}，
當(dāng)a＞2時，其解集為{x|x＜1或2≤x≤a}．

點評：本題考查分式不等式的解法，涉及基本不等式的運用與分類討論的數(shù)學(xué)思想，解分式不等式時，注意分母不能為0．