Question

7．若${（x+\frac{1}{2x}）^n}$（n≥4，n∈N^*）的二項(xiàng)展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則n=8．

Answer 1

分析 ${（x+\frac{1}{2x}）^n}$（n≥4，n∈N^*）的二項(xiàng)展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)依次為：1，$\frac{1}{2}n$，$（\frac{1}{2}）^{2}$${∁}_{n}^{2}$，由于此三個數(shù)成等差數(shù)列，可得2×$\frac{1}{2}n$=1+$（\frac{1}{2}）^{2}$${∁}_{n}^{2}$，解出即可得出．

解答 解：${（x+\frac{1}{2x}）^n}$（n≥4，n∈N^*）的二項(xiàng)展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)依次為：1，$\frac{1}{2}n$，$（\frac{1}{2}）^{2}$${∁}_{n}^{2}$，
由于此三個數(shù)成等差數(shù)列，∴2×$\frac{1}{2}n$=1+$（\frac{1}{2}）^{2}$${∁}_{n}^{2}$，
化為：n²-9n+8=0，解得n=8或1（舍去）．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．