Question

2．若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn)，Ox為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=6cosθ．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程ρsin²θ=6cosθ化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當(dāng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=6cosθ，即ρ²sin²θ=6ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出圓錐曲線類型．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C可得：t²-4t-12=0，解得t即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=6cosθ，即ρ²sin²θ=6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：y²=6x，表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線、頂點(diǎn)為原點(diǎn)，向右開(kāi)口．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C可得：t²-4t-12=0，
解得t=6或-2．
∴|AB|=|-2-6|=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．