【題目】已知函數(shù),直線是曲線的一條切線

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若對任意的x(0,),都有,求整數(shù)k的最大值.

【答案】(1)1(2)3

【解析】

(1)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),利用斜率和切點(diǎn)在直線上列方程組,解方程組求得切點(diǎn)的坐標(biāo)以及的值.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時函數(shù)的最小值大于零,當(dāng)函數(shù)值的最小值小于零,由此求得點(diǎn)的最大整數(shù)值為.

解:(1)設(shè)切點(diǎn)P(m,mlnmam+1),

f ′(x)=lnx+1+a

f(m)=lnm+1+a.

則在點(diǎn)P處的切線l方程為:y=(lnm+1+a)xm+1.

若與題目中的切線重合,則必有

解得am=1,

所以a的值為1.

(2) F(x)=f(x)-k(x-1),

則根據(jù)題意,等價于F(x)>0對任意的正數(shù)x恒成立.

F ′(x)=lnx+2-k

F ′(x)=0,則xek2 .

當(dāng)0<xek2 ,則F ′(x)<0,F(x)在(0,ek2)上單減;

當(dāng)xek2 ,則F ′(x)>0,F(x)在(ek2,+∞)上單增.

所以有F(x)F(ek2) >0,即ek2k-1<0.

當(dāng)k=3,容易驗(yàn)證,ek2k-1<0;

下證:當(dāng)k≥4,ek2k-1>0成立.

h(x)=ex2x-1,x≥4,

h ′(x)=ex2-1≥0,對任意的x≥4恒成立。

于是h(x)[4,+∞)上單增,

h(x)h(4)=e2-5>0;

所以對于任意的x≥4,ex2x-1>0.

綜上,k的最大值為3.

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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時間

周一

周二

周三

周四

周五

車流量(萬輛)

100

102

108

114

116

的濃度(微克/立方米)

78

80

84

88

90

1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

2)若周六同一時間段車流量是200萬輛,試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測此時的濃度為多少.

參考公式:,.

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A. B. C. D.

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1)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過m

不超過m

總計

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

總計

2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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1)下面給出兩組函數(shù),是否分別為的生成函數(shù)?并說明理由;

第一組:;

第二組:;

2)設(shè),生成函數(shù).若不等式上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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在[0,2)上為單調(diào)增函數(shù)

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