Question

（理科做）設(shè)f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．

Answer 1

分析：分析：首先題目要求應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗(yàn)證第一項(xiàng)是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)候結(jié)論成立，去驗(yàn)證n=k+1時(shí)候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答：解：1⁰、當(dāng)n=2時(shí)，等式左邊=2+f（1）=2+1=3
等式右邊=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，∴原式成立；…（4分）
2⁰、假設(shè)n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）
∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，∴f(n+1)=f(n)+

1

n+1

（這步可置于后）…（8分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
等式左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）
=(k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+

1

k+1

]=(k+1)f(k+1)
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．…（12分）
綜上1⁰，2⁰可得當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立
…（14分）

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列的遞推公式和利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，歸納法是高考中常考的方法，幾乎每年都考，對(duì)此學(xué)生要引起注意，多加練習(xí)．