Question

19．已知菱形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，AB=1，E為BC邊上任一點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EC}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，再設(shè)設(shè)$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（0≤λ≤1）E的坐標(biāo)為（x，y），用λ表示x，y，再根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，
∴B（1，0），A（0，0）
∵菱形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，AB=1，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BF=$\frac{1}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（0≤λ≤1）E的坐標(biāo)為（x，y），
∴（x-1，y）=λ（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴x=1+$\frac{1}{2}$λ，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EC}$=（1+$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）•（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）
=-λ²+$\frac{1}{2}λ$+$\frac{1}{2}$=-（λ-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{16}$，
故當(dāng)λ=$\frac{1}{4}$時(shí)，有最大值，即為$\frac{9}{16}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積以及二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．