Question

已知x，y滿(mǎn)足

2x+y-3≥0 4x-y-9≤0 y≤lnx

，則z=

1

2

x-y的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．

解答： 解：由z=

1

2

x-y得y=

1

2

x-

z

2

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線(xiàn)y=

1

2

x-

z

2

，
由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=

1

2

x-

z

2

，與y=lnx相切時(shí)，直線(xiàn)y=

1

2

x-

z

2

的截距最大，此時(shí)z最小，
函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)=

1

x

，由y′=f′(x)=

1

x

=

1

2

，
解得x=2，此時(shí)y=ln2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，ln2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=

1

2

x-y=1-ln2．
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是1-ln2．
故答案為：1-ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的基本應(yīng)用以及直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法．