已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）上在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)．
（1）判別f（x）在（-∞，0]上的單調(diào)性并加以證明；
（2）若f（1）＜f（log3（x-2）），求x的取值范圍．
【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，結(jié)合f（x）上在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)，易判斷f（x）在（-∞，0]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性，我們易將f（1）＜f（log3（x-2）），轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)不等式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可進而轉(zhuǎn)化為一個整式不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：（1）f（x）在（-∞，0]上為單調(diào)減函數(shù)，理由如下：
任取區(qū)間（-∞，0]上兩個數(shù)a，b，且a＜b≤0
則0≤-b＜-a
∵函數(shù)f（x）上在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)
∴f（-b）＜f（-a）
又∵函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)
∴f（-b）=f（b），f（-a）=f（a）
故f（b）＜f（a）
即f（x）在（-∞，0]上為單調(diào)減函數(shù)
（2）由（1）中結(jié)論
f（1）＜f（log3（x-2））可化為：
log3（x-2）＞1，或log3（x-2）＜-1
即x-2＞3或0＜x-2＜
解得：x＞5或2＜x＜
故x的取值范圍為：x＞5或2＜x＜．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的應用，及對數(shù)的運算性質(zhì)，其中利用偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，判斷別f（x）在（-∞，0]上的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，則不等式f（1）＞f（log2x）的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

23、已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f'（x），滿足兩個條件：①對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函數(shù)的f（x）的表達式；
（2）對任意x1，x2∈[-1，1]，求證：|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）的圖象是拋物線的一部分，且該拋物線經(jīng)過點（1，0）、（3，0）和（0，3）．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，若A∩B有4個元素，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足：（1）f（-x）=f（x）；（2）f（4+x）=f（x）；若當 x∈[0，2]時，f（x）=-x2+1，則當x∈[-6，-4]時，f（x）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x），同時滿足以下三個條件：
①f（-1）=2；②x＜0時，f（x）＞1；③對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）；
（1）求f（0），f（-4）的值； 
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
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的解集．

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