Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+2a，任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立，即求f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上的最小值，從而將恒成立問題化為最值問題，對函數(shù)f（x）=ax²-2x+2a首先討論是不是二次函數(shù)，再討論開口方向及對稱軸的位置以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．共分五類進(jìn)行討論．

解答： 解：①若a=0，則f（x）＞0可化為-2x＞0，
故不能使任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立；
②若a＜0，則f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是減函數(shù)，
則任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化為
f（4）≥0，即18a-8≥0，無解；
③若0＜

2

2a

≤1，即a≥1時，
f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是增函數(shù)，
則任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化為
f（1）≥0，即3a-2≥0，
解得，a≥1；
④若1＜

2

2a

＜4，即

1

4

＜a＜1時，
f（x）=ax²-2x+2a的最小值在對稱軸上取得，
即任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化為
f（

2

2a

）＞0，即

1

a

-

2

a

+2a≥0，
解得，

2

2

＜a＜1；
⑤

2

2a

≥4，即0＜a＜

1

4

時，
f（x）=ax²-2x+2a在[1，4]上是減函數(shù)，
即任意x∈（1，4），f（x）＞0恒成立可化為
f（4）≥0，即18a-8≥0，無解；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（

2

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題的處理方法，一般要化為最值問題，同時考查了函數(shù)f（x）=ax²-2x+2a的討論，即分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．