Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

a•2x-1

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若對(duì)任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
則

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）為遞增函數(shù)
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）為遞增函數(shù)
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對(duì)t∈[-2，2]恒成立
則f（t²-2t）＜-f（2t²-k）對(duì)t∈[-2，2]恒成立
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x）
則f（t²-2t）＜f（-2t²+k）對(duì)t∈[-2，2]恒成立
又因?yàn)閒（x）為遞增函數(shù)
所以t²-2t＜-2t²+k對(duì)t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0對(duì)t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，當(dāng)x=-2時(shí)，u_max=16-k
則16-k＜0，則k＞16