Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+1

ax+b

對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=

x2+1

ax+b

對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f（-x）=-f（x），且f（1）=2，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，解方程組，即可得到a，b的值；
（2）任意區(qū)間（-∞，-1）上的兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，構(gòu)造出f（x₁）-f（x₂），并判斷其符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）因?yàn)閒（-x）=-f（x）
即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

（2分）
所以-ax+b=-ax-b
∴b=0，（4分）
又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，
∴a=1（6分）
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

設(shè)x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，（9分）
因?yàn)閤₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）（11分）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)解析式的求法，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握定義法（作差法）證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．