Question

13．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1，x∈[0，+∞）的值域為（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，1]
• B． [-$\frac{5}{4}$，-1]
• C． （-1，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，由x的范圍結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍，問題轉化為求f（t）的值域，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可．

解答 解：令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，由x∈[0，+∞），得：t∈（0，1]，
∴f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1轉化為f（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∴t=$\frac{1}{2}$時，f（x）最小，最小值是-$\frac{5}{4}$，t=1時，f（x）最大，最大值是-1，
故函數(shù)f（x）的值域是[-$\frac{5}{4}$，-1]，
故選：B．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查換元思想，是一道中檔題．