Question

1．過點M（1，0）的直線l與圓C：x²+（y-2）²=4交于A，B兩點．N為圓C與y軸正半軸的交點．
（I）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程：
（II）證明：直線AN，BN的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況考慮：①直線l垂直于x軸時，可得出直線l為x=1，此時直線l與圓C的兩交點距離|AB|為$2\sqrt{3}$，滿足題意；②當直線l不垂直x軸時，設(shè)直線l的斜率為k，由M及斜率k表示出直線l的方程，設(shè)圓心到直線的距離為d，由已知截取的弦長，根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由d的值列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線方程；
（2）可設(shè)直線方程為y=k（x-1），然后聯(lián)立圓的方程得到關(guān)x的一個一元二次方程，然后設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出AN和BN的斜率之和，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求證即可

解答 解：（1）①直線l垂直于x軸時，可得出直線l為x=1，此時直線l與圓C的兩交點距離|AB|為$2\sqrt{3}$，滿足題意；
②當直線l不垂直x軸時，設(shè)直線方程為y=k（x-1），因為|AB|=$2\sqrt{3}$，所以半弦長=$\sqrt{3}$，由勾股定理得弦心距d=$\sqrt{{2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}}=1$，
又有點到直線的距離公式可得弦心距d=$\frac{|0×k-1×2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得k=$-\frac{3}{4}$，此時直線方程為3x+4y-3=0，
所以滿足題設(shè)條件的直線l的方程為x=1或3x+4y-3=0．
（2）證明：由題設(shè)容易得到點N坐標（0，4），
設(shè)直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立圓的方程，可得關(guān)于x的一元二次方程：（k²+1）x²-（2k²+4k）x+（k²+4k）=0，
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）可得x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$；
AN的斜率K_AN=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}=\frac{k（{x}_{1}-1）-4}{{x}_{1}}=\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}$，BN的斜率K_BN=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}=\frac{k（{x}_{2}-1）-4}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$，
則K_AN+K_BN=$\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（k+4）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$2k-\frac{（k+4）•\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}$=2k-2k-4=-4．
所以AN與BN的斜率之和為定值，從而結(jié)論得證．

點評 考察直線與圓的位置關(guān)系，可聯(lián)立直線與圓的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化為學習過的點與直線間的距離公式問題以及二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求解或者求證即可，屬于中檔題．