Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求的零點個數(shù)；

（Ⅲ）證明：曲線沒有經(jīng)過原點的切線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，在內(nèi)單調(diào)遞增；時，，，在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；（Ⅱ）有且僅有一個零點；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本小題要求單調(diào)區(qū)間，可先求定義域為，再求出導(dǎo)數(shù)，研究的根的情況，從而得出的解集，得單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)的零點個數(shù)，可利用（Ⅰ）的單調(diào)性證明，如當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，最多只有1個零點，如能說明函數(shù)有正有負，則一定有一個零點；當時，在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，是的根，要討論的正負，從而確定零點個數(shù)；（Ⅲ）用反證，假設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過原點，則有，化簡得.下面只要證明此方程無解即可，可求函數(shù)的最小值，證得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，.

令，得.

當，即時，，

∴在內(nèi)單調(diào)遞增.

當，即時，由解得，

，，且，

在區(qū)間及內(nèi)，，在內(nèi)，，

∴在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴最多只有一個零點.

又∵，∴當且時，；

當且時，，故有且僅有一個零點.

當時，∵在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

且，

，

而，

（∵），

∴，由此知，

又∵當且時，，故在內(nèi)有且僅有一個零點.

綜上所述，當時，有且僅有一個零點.

（Ⅲ）假設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過原點，

則有，即，

化簡得：.（*）

記，則，

令，解得.

當時，，當時，，

∴是的最小值，即當時，.

由此說明方程（*）無解，∴曲線沒有經(jīng)過原點的切線.