Question

14．設連續(xù)函數f（x）的定義域為R，已知，若函數f（x）無零點，則f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
（1）用反證法證明：“若存在實數x₀，使得f（f（x₀））=x₀，則至少存在一個實數a，使得f（a）=a”；
（2）若f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2，有且僅有一個實數x₀，使得f（f（x₀））=x₀，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設不存在實數a，使得f（a）=a，構造函數F（x）=f（x）-x，則F（x）無零點，F（x）＞0或F（x）＜0恒成立，結合條件，引出矛盾，即可得出結論；
（2）轉化為e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，構造函數，利用導數，即可得出結論．

解答 （1）證明：設不存在實數a，使得f（a）=a，構造函數F（x）=f（x）-x，則F（x）無零點，
∴F（x）＞0或F（x）＜0恒成立．
不妨設F（x）＞0恒成立，則f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∵存在實數x₀，使得f（f（x₀））=x₀，
∴x₀=f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾，
故假設不成立，
∴至少存在一個實數a，使得f（a）=a”；
（2）解：由（1）可知，存在一個實數a，使得f（a）=a
顯然f（0）=0，則x≠0，F（x）無零點，
即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2≠x（x≠0）
∴e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，
設g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2，則x＞0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）≥2，
x＜0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）＞2，
∴m+1≤2，∴m≤1．

點評 本題考查反證法的運用，考查導數知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．