Question

f(x)是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f(x)在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f(x)是k型函數(shù)．給出下列說法：

①f(x)＝3－不可能是k型函數(shù)；

②若函數(shù)y＝(a≠0)是1型函數(shù)，則n－m的最大值為；

③若函數(shù)y＝－x²＋x是3型函數(shù)，則m＝－4，n＝0；

④設(shè)函數(shù)f(x)＝x³＋2x²＋x(x≤0)是k型函數(shù)，則k的最小值為.

其中正確的說法為________．(填入所有正確說法的序號)

Answer 1

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[解析]　對于①，注意到函數(shù)f(x)＝3－在[2,4]上的值域是[1,2]＝×2，×4，因此函數(shù)f(x)＝3－可能是k型函數(shù)，故①不正確；對于②，依題意得函數(shù)y＝＝－，存在區(qū)間[m，n]，

使函數(shù)y＝－在[m，n]上的值域恰為[m，n]，注意到函數(shù)y＝－在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，于是有即a²x²－(a²＋a)x＋1＝0的兩個不等的實根，

則m＋n＝，mn＝，

從而n－m

＝的最大值是＝，因此②正確；對于③，依題意得存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)y＝－x²＋x在區(qū)間[m，n]上的值域是[3m,3n]，注意到y＝－x²＋x＝－(x－1)²＋≤，因此3n≤，n≤，函數(shù)y＝－x²＋x在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，

于是有

即m，n是方程－x²＋x＝3x的兩個實根－4，0，又m<n，因此m＝－4，n＝0，故③正確；對于④，當(dāng)x≤0時，f′(x)＝3x²＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)，若－<x<0，則f′(x)>0；若－1<x<－，則f′(x)<0，函數(shù)f(x)＝x³＋2x²＋x(x≤0)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且＝－，f(－1)＝f(0)＝0，因此當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)相應(yīng)的值域是注意到<，因此④不正確．綜上，其中正確的說法為②③.