Question

8．如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻ABC內(nèi)的空地上植造“綠地△ABD”，其中AB=a，BD長(zhǎng)可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)（BC足夠長(zhǎng)），現(xiàn)規(guī)劃在△ABD內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，設(shè)種草的面積S₁與種花的面積S₂的比$\frac{S_1}{S_2}$為y．
（1）設(shè)角∠DAB=θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)BE為多長(zhǎng)時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由于題目中“設(shè)∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識(shí)解決“草花比y”；
（2）由于式子“y=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）≥1”括號(hào)中兩式的積是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答 解：（1）因?yàn)锽D=atanθ，
所△ABD的面積為$\frac{1}{2}$a²tanθ（θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為t，則由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$，
得$\frac{t}{a}$=$\frac{atanθ-t}{atanθ}$，
解得t=$\frac{atanθ}{1+tanθ}$，則S₂=$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$
所以S₁=$\frac{1}{2}$a²tanθ-S₂，
所以$y=\frac{tanθ}{2}+\frac{1}{2tanθ}+1$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
（2）因?yàn)閠anθ∈（0，+∞），所以y=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$）≥1
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=1，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)BE=$\frac{a}{2}$．
所以$BE=\frac{a}{2}$，y最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、解三角形以及利用基本不等式求函數(shù)最值的方法，解決實(shí)際問(wèn)題通常有幾個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．