Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）若二面角D-AF-C為45°，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BC⊥AC，BC⊥EC，AC∩EC=C，可得BC⊥平面ACEF，從而BC⊥AF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根據(jù)二面角D-AF-C為45°，利用向量的夾角公式，即可求CE的長(zhǎng)．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3
所以AB²=AC²+BC²，
由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．  …（2分）
又因?yàn)镋C⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
所以BC⊥EC．                                   …（4分）
又因?yàn)锳C∩EC=C，
所以BC⊥平面ACEF，
又AF?平面ACEF
所以BC⊥AF．                                   …（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镋C⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz．
設(shè)CE=h，則C（0，0，0），A(

3

，0，0)，F(

3

2

，0，h)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，
所以

AD

=(-

3

2

，-

1

2

，0)，

AF

=(-

3

2

，0，h)．…（8分）
設(shè)平面DAF的法向量為

n1

=（x，y，z），則

- 3 2 x- 1 2 y=0 - 3 2 x+hz=0.

令x=

3

．所以

n1

=（

3

，-3，

3

2h

）．…（9分）
又平面AFC的法向量

n2

=（0，1，0）…（10分）
所以cos45°=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

2

2

，解得h=

6

4

．  …（11分）
所以CE的長(zhǎng)為

6

4

．              …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．