Question

已知曲線C滿足到直線x=-

p

2

的距離與到點(diǎn)A（

p

2

，0）的最小距離相等，p＞0，直線l交此曲線于不同的兩個點(diǎn)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當(dāng)直線L過M（-p，0），證y₁y₂是定值；
（3）當(dāng)y₁y₂=-p時直線l是否過定點(diǎn)，若不過，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由曲線C滿足到直線x=-

p

2

的距離與到點(diǎn)A（

p

2

，0）的最小距離相等，p＞0，可得曲線C是以點(diǎn)A（

p

2

，0）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可得方程；
（2）設(shè)出直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（3）分直線l的斜率存在與不存在兩種情況討論：把直線的斜截式方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出

解答： （1）解：∵曲線C滿足到直線x=-

p

2

的距離與到點(diǎn)A（

p

2

，0）的最小距離相等，p＞0，
∴曲線C是以點(diǎn)A（

p

2

，0）為焦點(diǎn)的拋物線，
∴曲線C的軌跡方程為y²=2px；
（2）證明：設(shè)L：x=my-p，代入拋物線可得y²-2pmy+2p²=0，
∴y₁y₂=2p²；
（3）解：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0時不合題意）．
代入拋物線可得ky²-2py+2pb=0．
∴y₁y₂=

2pb

k

=-p，從而b=-

k

2

．
從而y=kx-

k

2

，即過定點(diǎn)(

1

2

，0)．
當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，∴y=±

2px0

，
∴y₁y₂=-2px₀=-p，
∴x₀=

1

2

，過定點(diǎn)(

1

2

，0)．
綜上所述，當(dāng)y₁y₂=-p時，直線l過定點(diǎn)(

1

2

，0)．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，熟練掌握直線與拋物線相交問題通過聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．