Question

射擊運動的槍靶是由10個同心圓組成的，其中每兩個相鄰同心圓的半徑的差等于中間最小圓的半徑．每相鄰兩個圓之間圍成一個圓環(huán)．從外向內(nèi)順次叫做1環(huán)，2環(huán)，3環(huán)，…，8環(huán)，9環(huán)．最小圓內(nèi)的區(qū)域叫做10環(huán)．

(1)若規(guī)定10環(huán)的面積為1，分別求出10環(huán)到1環(huán)的面積．

(2)如果像槍靶那樣構(gòu)造無數(shù)多個同心圓，并且從最內(nèi)部的小圓區(qū)域依次到外面的各個圓環(huán)區(qū)域的面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S_n，…，試給出S_n與S_n+1的遞推關系式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設最小圓半徑為R，從小到大各同心圓的半徑依次為2R，3R，…，9R，10R， 　　于是10環(huán)的面積為πR2＝1， 　　9環(huán)的面積為π(2R)2－πR2＝3πR2＝3； 　　8環(huán)的面積為π(3R)2－π(2R)2＝5πR2＝5． 　　…… 　　類似地可算出7環(huán)到1環(huán)的面積分別為7，9，11，13，15，17，19． 　　(2)設最小圓半徑為R，則第n－1個、第n個、第n＋1個同心圓的半徑分別為(n－1)R、nR、(n＋1)R． 　　∴Sn＝π(nR)2－π[(n－1)R]2＝(2n－1)πR2， 　　Sn+1＝π[(n＋1)R]2－π(nR)2＝(2n＋1)πR2， 　　． 　　∴遞推關系式為Sn+1＝．