Question

8．如圖所示，過點P分別做圓O的切線PA、PB和割線PCD，弦BE交CD于F，且AE∥CD．
（Ⅰ）證明：P、B、F、A四點共圓；
（Ⅱ）若四邊形PBFA的外接圓的半徑為$\sqrt{13}$，且PC=CF=FD=3，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明：∠PAB=∠PFB，A，F在線段PB的同側，即可證明P、B、F、A四點共圓；
（Ⅱ）由△PAB外接圓的唯一性可得P、B、F、A、O共圓，四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，OP是該外接圓的直徑，利用切割線定理、勾股定理，即可得出結論．

解答 證明：（Ⅰ）連接AB，
∵AE∥CD，
∴∠PFB=∠AEB．
又∵PA與圓O切于點A，
∴∠PAB=∠AEB，
∴∠PAB=∠PFB．
又 A，F在線段PB的同側，
∴P、B、F、A四點共圓．
解：（ II）因為PA、PB是圓O的切線，
所以P、B、O、A四點共圓，
由△PAB外接圓的唯一性可得P、B、F、A、O共圓，
四邊形PBFA的外接圓就是四邊形PBOA的外接圓，
∴OP是該外接圓的直徑，即：$OP=2\sqrt{13}$．
由切割線定理可得PA²=PC•PD=3×9=27
設圓O的半徑為r，
∴$r=\sqrt{O{P^2}-P{A^2}}=\sqrt{52-27}=5$，
即：圓O的半徑為5．

點評 本題考查圓周角定理，四點共圓的證明，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．