Question

（12分）已知數(shù)列，滿足，，且（）

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題的已知條件中，、在所滿足的關(guān)系式中相互交叉表達(dá)，顯然無法從現(xiàn)有已知條件中直接求出、的通項(xiàng)公式，所以必須通過構(gòu)造新的數(shù)列來間接求解，再根據(jù)關(guān)系式中的系數(shù)特征可以看出，兩個條件相加、減后得到的結(jié)果分別構(gòu)成等差、等比數(shù)列，從而找到本題的突破口，接下來只需通過加、減消元即可得出所求；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上，只需借助相關(guān)前項(xiàng)求和的恰當(dāng)方法，不難得出所求.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)得，

可令，則（），即，

所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為，

由題設(shè)得，

可令，則，即

，，

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為．

綜上所述，可得解之得：；；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

顯然是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的前和.

考點(diǎn)：數(shù)列的構(gòu)造思想；等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；分組求和的方法；方程思想和發(fā)散思維.