Question

（本小題滿分14分）設不等式組所表示的平面區(qū)域為，記內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為

（1）求的值及的表達式；（2）記，試比較的大小；若對于一切的正整數(shù)，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設為數(shù)列的前項的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴   ；（2）；

（3）存在正整數(shù)使成立.

【解析】(1)因為,所以當時，取值為1，2，3，…，共有個格點,當時，取值為1，2，3，…，共有個格點,從而可知.

(2)由于，然后根據(jù)研究數(shù)列{}的單調性，從而確定出其最值.問題到此基本得以解決.

(3)在（2）的基礎上，可知,然后將代入,再化簡整理可得,然后再根據(jù)t=1和t>1兩種情況進行討論，從而確定是否存在n,t的值，使成立.

解：⑴              ------------------2

當時，取值為1，2，3，…，共有個格點

當時，取值為1，2，3，…，共有個格點

∴-      ------------------4分

（2）解：由 

則

-------------------5分

當時，

當時，-------------------6分

∴時，

時，

時，

∴中的最大值為-------------------8分

要使對于一切的正整數(shù)恒成立，只需

∴-------------------9分

（3）解：--------------10分

將代入，化簡得，（﹡）--------------11分

若時，顯然-------------------12分

若時     （﹡）式

化簡為不可能成立-------------------13

綜上，存在正整數(shù)使成立. - --------------14分