Question

已知函數(shù)=(a＞1).

(1)證明：函數(shù)在（-1，+∞）上為增函數(shù)；

（2）用反證法證明方程=0沒有負數(shù)根.

Answer 1

解析：（1）任取x₁,x₂∈(-1,+∞)，不妨設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，＞1，且＞0，

∴-=(-1)＞0.

又∵x₁+1＞0,x₂+1＞0，

∴-==＞0.

于是-=-+-＞0,

故函數(shù)f(x)在（-1，+∞）上為增函數(shù).

（2）證法一：設存在x₀＜0（x₀≠-1）,滿足=0，則=，且0＜＜1,

∴0＜＜1，即＜x₀＜2.與假設x₀＜0矛盾，故方程=0沒有負數(shù)根.

證法二：設存在x₀＜0(x₀≠-1)，滿足=0，

①若-1＜x₀＜0，則，＜1，

∴＜-1與=0矛盾.

②若x₀＜-1，則＞0，＞0,∴＞0與=0矛盾.

故方程f(x)=0沒有負數(shù)根.