Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn且滿足Sn=2an﹣1，n∈N*；
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1 ， 求{Tn}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)有m項(xiàng)的數(shù)列{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，并且滿足：lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．
問數(shù)列{bn}最多有幾項(xiàng)？并求出這些項(xiàng)的和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣1，n∈N*；∴n=1時(shí)，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1；

n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），

化為an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1．∴an=2n﹣1

（2）解：anan+1=2n﹣12n= ．

∴Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n+1anan+1

= +…+（﹣1）n+1×4n]

= = [1﹣（﹣4）n]

（3）解：由lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．

∴ × ×…× =log2am=m﹣1．

又?jǐn)?shù)列{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，∴bn=bn﹣1+1．

∴ =m﹣1，又bm=b1+（m﹣1），

∴mb1﹣3b1﹣2m=0，

∴m= =3+ ，由m∈N*，

∴b1＞2，∴b1=3時(shí)，m的最大值為9．

∴這些項(xiàng)的和=3+4+…+11=63

【解析】（1）Sn=2an﹣1，n∈N*；n=1時(shí)，a1=S1=2a1﹣1，解得a1；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為an=2an﹣1 ， 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）anan+1=2n﹣12n= ．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．（3）由lg2+lg（1+ ）+lg（1+ ）+…+lg（1+ ）=lg（log2am）．可得 × ×…× =log2am=m﹣1．又?jǐn)?shù)列{bn}是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，bn=bn﹣1+1．化簡(jiǎn)進(jìn)而得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．