Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2ⁿa_n（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)F_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹，試比較F_n與T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得到關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的方程組，解之即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）將F_n與T_n作差，根據(jù)結(jié)果對(duì)n分類討論即可得到答案．
解答：解：（1）由已知可得（d＞0）解得：．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（4n-3）•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+5•2²+9•2³+…+（4n-7）•2^n-1+（4n-3）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+5•2³+…+（4n-11）•2^n-1+（4n-7）•2ⁿ+（4n-3）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-T_n=2+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•2ⁿ⁺¹-16-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14
∴T_n=（4n-7）•2ⁿ⁺¹+14…（9分）
（3）∵F_n-T_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14=2ⁿ⁺²-14，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ⁺²≥2⁴=16＞14，即2ⁿ⁺¹-14＞0，故F_n＞T_n；
當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ⁺²=2³=8＜14，即2ⁿ⁺¹-14＜0，故F_n＜T_n．
綜上所述，當(dāng)n=1時(shí)，F(xiàn)_n＜T_n；當(dāng)n≥2時(shí)，F(xiàn)_n＞T_n…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，著重考查錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查方程思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．