Question

如圖，直角三角形PAQ的頂點P(－3,0)，點A在y軸上，點Q在x軸正半軸上，∠PAQ＝90°.在AQ的延長線上取點M，使 .
　�。�1）當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡C；
　　（2）設軌跡C的準線為l，焦點為F，過F作直線m交軌跡C于G、H兩點，過點G作平行軌跡C的對稱軸的直線n且n∩l＝E.試問：點E、O、H（O為坐標原點）是否在同一條直線上？說理由.

 

Answer 1

　解析：�。�1）設M(x,y)，且過點M作MN⊥OY于N　則
　　∴ 　∴點A坐標為 由題設得PA⊥AM　 　 　化簡得①　　注意到當x＝0時，點M與點N重合，點Q與原點重合，這與已知條件不符
　　因此，動點M的軌跡方程為 ，　其軌跡是頂點在原點，焦點為F(1,0)的拋物線（不含頂點）.
　　(2)由（1）知，軌跡C的焦點F(1,0)，準線l：x＝－1
　　（）當直線m不與x軸垂直時，　　設直線m的方程為y＝k(x-1)（k≠0）①　　
　　將①與 聯(lián)立，消去x得 　　∴由韋達定理得  ②
　　又直線n的方程為 　∴ 　∴
　　∴ 　∴點E、O、H三點共線
　�。ǎ┊斨本�m⊥ox時，直線m的方程為x＝1，此時易證點E、O、H三點共線.于是，由（）（）知，題設條件下的點E、O、H一定在同一條直線上.